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6 décembre 2006 3 06 /12 /décembre /2006 15:34
    WARNING : L'article suivant contient de fortes doses de mathématiques ; l'auteur décline toute responsabilité quant aux éventuelles migraines intempestives contractées par le lecteur.
    Sinon, ça commence .




    Car, maintenant, on va rajouter tous les autre nombres, ceux dont je disais, juste au-dessus, qu'ils n'étaient pas algébriques.
    Nombres qui sont appelés transcendants, et qu'on ne peux pas classer autrement que par une non-définition, c'est-à-dire qu'on ne peut les définir que par ce qu'ils ne sont pas, à quelques notables exceptions près, comme par exemple le fameux π (1), nombre particulier qui est assez fascinant, justement à cause de cette nature étrange et complexe, pourtant couplée avec une définition d'une simplicité biblique (c'est le coefficient qui permet de passer d'un diamètre à la circonférence d'un cercle, et quoi de plus banal qu'un cercle, sinon deux cercles ?).
    C'est-à-dire que cette fois, on prend l'ensemble des nombres réels, donc tout-tout-tout ce qui existe comme nombre, avec des chiffres après la virgule de folie et tout. La to-tale.

    Et bien, là, je vous le dis tout net, quitte à tuer tout suspens dans l'œuf, dans ce cas on ne peut plus former de liste.
    Et pour démontrer cela, on va utiliser un des plus beaux mouvements de la pensée logique : le raisonnement par l'absurde.
    La difficulté avec les nombres transcendants, c'est qu'on ne peut pas les écrire nommément comme tous les précédents, ce sont des sortes de fantômes, d'une certaine manière : on sait qu'ils sont là, mais sans pouvoir les montrer distinctement, à part π et quelques autres. Ils n'ont pas de définition générique, donc, il faut ruser. La ruse, c'est le raisonnement par l'absurde.

    On va se dire, comme ça, qu'en fait, si, pour emmerder le monde, on peut tout à fait construire une liste de tous les nombres, ha ha, non mais qu'est-ce que vous croyez. Voyez, le gars têtu, qui affirme son truc paf, d'emblée.
    Imaginons donc cette liste, la liste de TOUS les nombres (en se cantonnant entre 0 et 1 pour limiter un peu le truc, ça change rien de toute façon, ce qu'on sait faire entre 0 et 1 peut ensuite se ré-éditer entre 1 et 2, etc...), et on va écrire les nombres bêtement, avec leurs chiffres après la virgules :

0,a1a2a3a4a5a6a7...
0,b1b2b3b4b5b6b7...
0,c1c2c3c4c5c6c7...
0,d1d2d3d4d5d6d7...
0,e1e2e3e4e5e6e7...
0,f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7...
etc... (beaucoup)...

où a1, a2, b1, b2, etc..., sont des chiffres de 1 à 9, dont on sait pas bien grand'chose, donc dans l'incertitude on les note par des lettres. Simplement, on fait l'hypothèse, théorique, que cette liste existe bel et bien.
    Or, si on établit que cette liste existe bel et bien, on est confronté à un petit problème.    
    Cette liste, hein, vous avez bien noté, j'insiste, est censée contenir TOUS les nombres entre 0 et 1, sans exception.
    Oui mais voilà.
    Observez bien le point suivant : vous avez remarqué les chiffres marqués en bleus ?
    Hé bien, que pensez-vous d'un nombre qui serait constitué ainsi :

0,a'1b'2c'3d'4e'5f'6...

    En choisissant exprès par esprit de contradiction :
a'1 ≠ a1
b'2 ≠ b2
c'3 ≠ c3
d'4 ≠ d4
e'5 ≠ e5
f'6 ≠ f6
etc...

    Ce nombre rebelle, est forcément différent du premier nombre de la liste, puisque leur premier chiffre après la virgule diffère (a'1 et a1) ; il est également différent du deuxième nombre de la liste, puisque leur deuxième chiffre après la virgule diffère (b'2 et b2) ; il est également différent du troisième nombre de la liste puisque leur troisième chiffre... ; il est également différent du quatrième nombre de la liste puisque... ; il est également différent du cinquième nombre... : il est également différent... ; il est... ; etc...

    Donc, on fait l'hypothèse que la liste de tous les nombres est possible, et paf, on arrive immédiatement à construire un nombre rebelle (théorique, et alors ?) qui ne rentre pas dans la liste...
    Mais c'est pas possiiiiiible !! Puisque dans la liste il devait y avoir tous les nombres...
    Nous voilà dans la panade, fortement acculés, et je vous en prie, pas de mauvais esprit, c'est pas le moment.

    Par conséquent, par la magie et la toute-puissance du raisonnement par l'absurde, on en est contraint d'en déduire le fait suivant : puisque en tentant d'écrire cette liste on aboutit à une contradiction insurpassable, c'est qu'on ne PEUT PAS constituer une liste de TOUS les nombres réels.
    Et donc ?
    Et donc, on ne peut pas compter les nombres réels. Or, par rapport au dernier ensemble, on a RAJOUTÉ des nombres. Ce qui signifie, cette fois, accrochez-vous, que l'ensemble des réels a donc une taille PLUS GRANDE que l'ensemble des entiers, ou que l'ensemble des rationnels, ou que l'ensemble des algébriques.
    Or, ces trois derniers ensembles, équivalents en taille, on l'a vu, ont un cardinal constitué par l'infini dénombrable.
    Donc, l'ensemble des réels est plus grand que l'infini dénombrable...

    Pom pom pom...

    Si là, vous n'avez pas sauté de votre chaise pour faire des bonds partout en vous arrachant les cheveux par touffes entières, c'est que vous n'avez pas bien lu : PLUS GRAND QUE L'INFINI, et attention, hein, c'est prouvé par aplussbé, c'est réglo, c'est pas un délire de scientologue ou quoi, non, non, c'est du pur du démontré du logique du définitivement dingue.

    Alors, on a fini par accepter le fait comme acquis (il s'agit du mathématicien Georg Cantor, en fait, et la démonstration ci-dessus constitue ce qui est appelé l'argument diagonal de Cantor), en appelant ce deuxième ordre d'infini, à côté de l'infini dénombrable : la puissance du continu, ou infini indénombrable.
    Pourquoi continu ?
    Entre 1 et 2 par exemple, si on se place dans le seul ensemble de nombre que l'on peut se représenter concrètement, c'est-à-dire celui dont je parlais au tout début, les nombres entiers (1, 2, 3, 4, ...), entre 1 et 2, donc, il n'y a rien : si vous posez deux pépitos sur la table, hé bien entre les deux il n'y a que la table, il n'y a pas une continuité de pépito. On dit pour cette raison que l'ensemble des entiers est un ensemble discret :  ça veut pas dire qu'il ne se fait pas remarquer, ça veut dire qu'il «est composé d'éléments discontinus, séparés, distincts» (Trésor de la Langue Française).
    Il y a donc des «trous» entre les entiers, il y a 1, puis 2, puis 3, etc... ; et tant que l'on ajoute des rationnels (les fractions) ou des algébriques (les racines), il subsistent des «trous», même s'il est cette fois impossible d'imaginer la gueule de ces trous, puisqu'on parle là de nombres qui ont un nombre infini de chiffres après la virgule (un peu comme une éponge : ça a globalement la forme d'un solide, et pourtant c'est troué comme du gruyère de manière compliquée).
    Pour combler ces trous, il faut donc ajouter ces fameux nombres transcendants, pour qu'on puisse alors passer continuement de 1 à 2 ; or, pour cela, on voit donc qu'il faut infiniment plus (c'est le cas de le dire) de nombre, que pour simplement compter.
    Ce qui est évidemment surprenant et totalement hors intuition, si on cherche à se représenter qu'en fait, il y a un infini plus important de nombres entre 1 et 2, qu'en comptant jusqu'à l'infini...

    Un autre résultat étonnant (mais là je me souviens plus de la démo, et, bon, je sais pas, je vous sens pas chaud, là, comme ça, a priori...), c'est qu'une ligne (représentant graphiquement la continuité des nombres réels, si on figure les nombres par des points ; ligne, ou droite, qui par conséquent contient une infinité de points indénombrable), possède autant de points qu'un plan.
    Alors que, là, par contre, on aurait fortement l'impression que le plan soit bien plus vaste qu'une ligne... Le mathématicien qui a découvert cela, le même Georg Cantor, n'y croyait tellement pas, qu'il était certain de s'être gouré dans sa démo, et avait donc demandé à ses potes de vérifier parce qu'il ne trouvait pas son erreur.    
    Il n'y avait pas d'erreur !

    Enfin, pour basculer définitivement dans la folie, mentionnons également un des trucs les plus dingues des maths, à savoir : l'existence d'un infini qui serait exactement compris entre le dénombrable et l'indénombrable (il s'agit de l'hypothèse du continu) est un indécidable mathématique, c'est-à-dire que, on peut choisir que ça existe, ou pas, et ça change rien au schmilblik... C'est un énoncé qui ne peut pas être démontré, et sur lequel on ne pourra jamais rien dire (théorème de Gödel).
    Et on entre là dans les domaines délirants des mondes logiques des mathématiques modernes.

    Refermons doucement la porte et éloignons-nous sur la pointe des pieds...




(1) tiens ça n'a rien à voir, mais il y a une très jolie chanson de Kate Bush qui s'appelle Pi et dont les paroles sont constituées par les décimales de π...

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commentaires

bridochon 14/07/2008 00:12

Bon alors là j'arrive totalement après la bataille. Limite le gros relou de base. Mais c'est pas grave je me lance quand meme.Je suis un littéraire de formation, mes compétences en matière de raisonnement mathématique sont à peu près aussi developpées que le cortex d'une mouche drozophile, le sens de l'humour de Marc-Olivier Fogiel ou ce genre de choses... Des lacunes graves sont donc à déplorer, j'aimerais nonobstant me permettre une petite question.Cette idée, ce concept, appelons cela comme on veut, n'est-il pas à rapprocher du concept de fractales de Mandelbrot ? Pas sur un plan physique puisqu'on parle ici de théorie mathématique, mais sur l'idée ?Voila voila, ça c'est fait...PS : j'accepte d'être fouété si et seulement si :1 / Le sujet avait déjà été abordé dans l'article et je me suis endormi à ce paragraphe précis2 / Il a déjà été traité dans les commentaires, que je ne me suis pas amusé à tous relire3 / Ma question est vraiment trop naze4 / Francis Lalane sort un album recueil de chants grégoriens

Djac Baweur 05/10/2007 12:05

>david : ha oui, d'accord, considérations topologiques, ça me rappelle des souvenirs ! ;o)
Mais on n'avait pas parlé de la continuité de la bijection, en fait, juste de son existence, ce n'était pas l'objet principal du cours, en fait.

Et pour les dimensions, c'est surtout quand ça devenait infini que les profs devenaient circonspects et nous faisaient comprendre qu'on allait passer à autre chose parce que c'était pas le moment, là... :o)

Quant à une fugue vue comme un nœud, mmmh... Les voix d'une fugue son plutôt censées se courir après (fugue=fuite) jusqu'à arriver à la pédale de dominante finale !:o)
Pas de nœuds, plutôt un ruisseau qui court et s'amplifie pour finir fleuve...

david 05/10/2007 09:12

l'idée, c'est que si on peut trouver une bijection continue entre deux ensembles, alors on peut transporter tous les objects continus de l'un dans l'autre, en particulier les noeurds de cravate dont ont aurait recollé les deux extrémités. Or dans une ligne, on peut pas vraiment faire de noeuds, dans un plan, on peut juste faire un cercle, et dans la 3D, aahh, là on peut faire des vrais sales noeuds, type ceux que tu fais avec une cravate, et qui sont vraiment différent du cercle: si tu colles les deux extrémités, tu ne peux pas revenir à un cercle sans couper à un endroit. Donc tout ça veut dire qu'on peut chercher autant qu'on veut, on ne trouvera pas de bijection continue entre une droite et un plan, ou entre un plan et l'espace 3D (alors qu'il existe des tas de bijections non continues). En fait c'est vrai plus généralement, quelque soit la dimension, mais à démontrer ça devient de la haute voltige mathématique, contemporaine, et pas très intuitive...et la question pas cher c'est: est-ce qu'il pourrait pas y avoir un rapport avec les fugues de Bach où les voix s'entrelacent? bof. non, sans doute pas. Mais l'idée est qd même amusante: la structure de noeud d'une fugue... hum...

Djac Baweur 04/10/2007 01:29

>david : rhââ, je le connaissais pas le coup de prendre une chiffre sur deux ! On m'a caché des choses ! Ni le coup des cravates, d'ailleurs !! Haaa, tu me tiens en haleine, là... ;o)

Et, heuuu, pourquoi une perversion ?

david 03/10/2007 22:40

Quelle étrange perversion, ce cours sur l'infini ici...Pour Cantor, la démo est très simple: chaque point du segment [0,1]  peut être identifié de manière univoque avec un nombre décimal 0.314159265... qui peut être identifié de manière univoque avec deux nombres décimaux formés en prenant un chiffre sur deux: 0.34525... et 0.1196... qui peuvent être identifiés à un point du carré [0,1]x[0,1]. Pour passer de ça à la ligne et au plan, c'est juste l'égalité des cardinaux de N et de NxN.  Bon, évidemment, tout ça n'est pas du tout continu, et ça a permis à Cantor de retrouver le sommeil. Et ça, c'est parce qu'on peut pas faire les mêmes noeuds de cravate dans des espaces de différentes dimensions, et ça aussi c'est une histoire amusante...

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