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5 décembre 2006 2 05 /12 /décembre /2006 19:08
       WARNING : L'article suivant contient de fortes doses de mathématiques ; l'auteur décline toute responsabilité quant aux éventuelles migraines intempestives contractées par le lecteur.
    Sinon, ça commence .




     Bien, prenons donc maintenant un cas plus compliqué (REVENEEEEEEZ !!!!!).

    À notre panier-garni de nombres, pour l'instant contenant les entiers relatifs, ajoutons à présent les rationnels.
    Les rationnels, ce sont les fractions, tous les 56/79, les 2/3 ou les 1/4 ou ce que vous voulez.
    Ça donne des nombres avec des chiffres après la virgule, soit en nombre limité, comme :
7/4=1,75,
3/8=0,375,
    soit en suite infinie comme :
2/7=0,285714 285714 285714...,
7/9=0,777777777...,
    avec cette particularité qu'après la virgule, donc, on y retrouve une série finie de chiffre qui se répète infiniment.
    Alors, notez bien, ce n'est pas du tout l'ensemble de tout les nombres possibles avec des chiffres après la virgule, ça reste une catégorie bien particulière.

    Hé bien, il est tout à fait possible de lister de tels nombres. Par exemple, entre zéro et un, on peut constituer une liste systématique comme suit :

1/1
1/2 2/2
1/3 2/3 3/3
1/4 2/4 3/4 4/4
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5
1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6
etc...

    Or, si on peu fabriquer une telle liste entre 0 et 1, on peut faire de même entre 1 et 2, entre 2 et 3, etc... ; par conséquent, il est possible de lister les fractions, on peut donc les compter, par conséquent, les nombres rationnels forment aussi un infini dénombrable.
    Encore une fois, on rajoute une foule de nombre, et paf, la taille de l'ensemble ne varie pas.

    Je sens que ça commence à vous agacer.
    J'en entend qui grommellent.
    C'est pas bien catholique tout ça.
    Ni très orthodoxe non plus.

    Et pourtant maintenant, on va rajouter des nombres en considérant un ensemble encore plus grand, qui contient tous les nombres que l'on vient d'étudier, mais avec en plus les nombres algébriques.
    Les nombres algébriques, ce sont les nombres solutions d'équation polynômiales(1), c'est-à-dire, pour simplifier, les nombres avec des racines, carrées, ou triples, ou multiples, genre 2√5 (racine carrée de cinq, i.e le nombre qui multiplié par lui-même donne 5), ou 5√2 (racine cinquième de deux, i.e le nombre qui multiplié cinq fois par lui-même donne 2), etc...
    Écrits de manière développée, voilà des nombres nettement plus complexes quant à ce qu'il se passe derrière la virgule.
    Par exemple, 2√2= 1,41421356237309...
    Ce qui se passe après la virgule est cette fois totalement aléatoire, il n'y a plus de répétition d'une série comme chez les rationnels.
    Cela étant, les nombres algébriques ne constituent pas encore tous les nombres avec chiffres après la virgule possibles, car on peut démontrer (et alors ça c'est vraiment compliqué) qu'il y a des nombres avec des chiffres après la virgule qui ne sont pas algébriques, c'est-à-dire qu'on peut toujours chercher un polynôme duquel ils soient solution, hé ben quéquette.

    Ben, pour l'instant, là aussi on peut faire une liste, du genre :

2√1, 2√2, 2√3, 2√4, etc...
3√1, 3√2, 3√3, 3√4, etc...
4√1, 4√2, 4√3, 4√4, etc...
etc...

    Eeeeeeet voilà, là encore, patatra, liste, donc comptage, donc infini dénombrable.

    Les trois ou quatre qui auraient lu jusqu'ici, doivent se dire, arrivés à ce stade, que c'est un tantinet répétitif. Alors voilà, on rajoute des nombres, et ça change rien, merci Djac, ça c'est de l'info, ça valait le coup  de vider toutes les réserves d'aspirine de la maison, génial.

    Bon.
    Du calme.
    Patience et longueur de temps valent mieux qu'hystérie et pétage de plombs.
    (Et c'est moi qui dis ça, tsss... )





(1) Une équation polynômiale, c'est un polynôme qu'on rend égal à zéro, c'est-à-dire un truc du genre : 0 = a + bx + cx2 + dx3 + ex4+...

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commentaires

brendufat 06/12/2006 21:24

entiers relatifs> je pencherais moi aussi pour cette explication, à rapprocher de ce que les entiers habituels (spontanés,  intuitifs, pour compter les pépitos sur ses doigts) sont dit  "naturels".Mais bon, c'est juste pour le plaisir de causer, hein !

Djac Baweur 06/12/2006 19:18

>Ardalia : oups, j'avais oublié les comms d'hier...
Ben heuu, chaipas trop vraiment répondre à ta question, mais je dirais pas que le terme relatif vient de la "relation" aux entiers, puisque les relatifs SONT des entiers.
A priori, sans savoir, j'imagine qu'il faut prendre le terme relatif avec la définition :
". Qui est évalué par rapport à un autre élément, à un repère, à un système de référence. "
Ici, le repère c'est zéro, et puis il y a les négatifs plus petits que zéro, et les positifs plus grand que zéro.
Mais bon, je dis ça, c'est sans garantie.

>arbobo : dans l'ancien temps, on disait grisou.

>brendufat : mais gare à ne pas y Fourier son nez
(quelle forme je tiens ce soir...)

brendufat 06/12/2006 01:23

Voyons jusqu'où ira l'animal .... sachant que le père Fourier et son gros bâton à fracasser les fonctions l'attendent à la sortie du bois Du hautbois peut-être ? Qui dit musique, dit acoustique, dit vibrations, dit phénomènes périodiques (ou pas, d'ailleurs), dit petit Papa Fourier. Youpi !

arbobo 06/12/2006 00:44

encore un coup de zorg !

Ardalia 05/12/2006 23:15

Bon ben ayé, je m'ai noyée...Sinon, la littéromane en moi ne dors jamais, les entiers ne sont ils pas dits "relatifs" justement parce qu'ils en relation avec les entiers?Vraie questionnaîve, hein!

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