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4 décembre 2006 1 04 /12 /décembre /2006 19:48
    WARNING : L'article suivant contient de fortes doses de mathématiques ; l'auteur décline toute responsabilité quant aux éventuelles migraines intempestives contractées par le lecteur.
    Sinon, ça commence .



    Bien, je poursuis.
    Un des premiers trucs que cherche à faire un mathématicien qui s'occupe d'ensembles, c'est de comparer les grandeurs de ces ensembles. Faut bien s'occuper et justifier de longues années d'études.
    On appellera désormais cardinal, le nombre d'éléments d'un ensemble, quels que soient ces éléments, comme ça ça ira plus vite pour la suite. Par exemple, le cardinal d'un paquet de pépitos est : 20 pépitos.
    Pour comparer les cardinaux de deux ensembles, le but de l'opération consiste à déterminer si oui ou non, on peut associer à chaque élément du premier ensemble un élément du second ensemble.
    Soit le second ensemble est plus petit, et donc on se retrouve avec des éléments du premier ensemble en trop, soit le second ensemble est plus grand, et dans ce cas on n'a pas assez d'éléments du premier ensemble, soit c'est pile-poil la même taille ; dans ce dernier cas, on dit que les cardinaux sont égaux, et qu'on a trouvé une bijection entre les deux ensembles.
    Une bijection, c'est une fonction dont on est certain qu'elle associe un seul élément du premier ensemble à un seul élément du second ensemble, et ce pour tous les éléments. Si on trouve une bijection, paf, forcément, on est certain que les cardinaux sont égaux, voire figure 1.


        Figure 1 (c'est bien foutu, hein ?)


cardinaux égaux :

ensemble 1     >bijection>    ensemble 2              
     a1                  >                 b1
     a2                  >                 b2
     a3                  >                 b3
     a4                  >                 b4


cardinal de l'ensemble 1 plus grand :

ensemble 1  >ça marche pas>  ensemble 2       
     a1                     >                 b1
     a2                     >                 b2
     a3                     >                 b3
     a4                     ?                 ... (rien)
     a5                     ?                 ... (rien non plus)
     a6                     ?                 ... (rien toujours)


    Ainsi, soit un paquet de pépitos d'une part, et un paquet de choco BN d'autre part. Pour déterminer si les cardinaux de ces deux ensembles sont égaux, je vais tenter d'appliquer la bijection suivante : je mange un pépito, puis je mange un choco BN.
    Que se passe-t-il ?
    Hé bien à un moment donné, je me retrouve à manger un pépito, sans choco BN avec lequel poursuivre !! Damnation !!
    Hé bien, je peux donc conclure : il n'y a pas de bijection possible du paquet de pépito vers le paquet de choco BN, donc les cardinaux de ces deux ensembles ne sont pas égaux (en effet, il y a 20 pépitos par paquet, et seulement 16 choco BN, tout le monde sait ça).
    La pure validité mathématique estampillée par l'Institut des Sciences de mon exemple n'est pas très certaine, mais j'imagine, a priori,  que ça ne vous froisse pas plus que ça. Du reste, je suis quand même parfaitement sûr du bien-fondé du résultat, pour avoir suffisamment renouvelé l'expérience.
    Et, au demeurant, je vous laisse prendre votre deuxième cachet de paracétamol.

    Donc, muni de ces outils imparables, on peut se demander, comme ça, au saut du lit, hop : «tiens, maididonque, et si y'aurait-il autant d'entiers relatifs que d'entiers tout court ? Mmmh ?»
    Alors, petites définitions : les entiers, ce sont les nombres du tout début, là-haut : 1, 2, 3, 4, 369, 36259874,  etc...
    Les entiers relatifs, c'est : les mêmes, mais en y adjoignant leur miroir, en quelque sorte, les négatifs : -1, -2, -3, -4, -369, -362598974, -etc...(1)

    Bon, là ça semble facile. Je veux dire, pour comparer les ensembles des positifs et des négatifs.
    À 1, on associe -1, à 2, on associe -2, à 3, on associe -3, à 36259874 on associe -36259874 : donc, à un seul élément des entiers positifs on associe un seul élément des entiers négatifs, et ça marche pour tous les nombres. Faciiiiile, il y a autant de négatifs que de positifs, bijection, tout ça.

    Oui, mais, les entiers relatifs c'est l'ensemble des positifs ET des négatifs, donc si on rajoute les 1, 2, 3, etc... et les -1, -2, -3, -etc... ensemble dans le même panier, ça semble pas pareil, alors que devient le cardinal de cet ensemble ?
    Comme ça, à l'intuition, puisque on rajoute des nombres, on aurait furieusement envie de dire qu'il y en a forcément plus.
    Bé non.

    Le truc, c'est d'arriver à constituer une liste exhaustive des éléments. Si on arrive à trouver un truc pour écrire une liste des éléments un par un, alors c'est qu'on peut les compter, autrement dit on a une bijection avec les ensembles des entiers, d'où le même cardinal, d'où le même infini (relisez leeeeeentement...)
    Là, par exemple, je peux lister les entiers relatifs par paire :
(1 ; -1) ; (2 ; -2) ; (3 ; -3) ; (36259874 ; -36259874) etc...

    Et je peux compter les paires, puisque j'ai pu les lister une par une, donc je peux les compter 1, 2, 3, 4, jusqu'à l'infini, et je peux même compter aussi les entiers relatifs un par un du moment que je les ai listés (par paire).
    Le résultat, c'est qu'il y a donc forcément, même si ça gêne votre intuition (si intuition il y a, évidemment), le même nombre d'entiers (1, 2, 3, etc...) que d'entiers relatifs (1, 2, 3, etc... ET -1, -2, -3, etc...), nombre qui n'en est pas vraiment un puisque c'est ce fameux infini dénombrable.
    Donc, pour résumer, on a rajouté toute une catégorie de nombre, et ça fait toujours la même taille...

    J'insiste sur le fait de pouvoir lister de manière exhaustive, c'est très important pour la suite : être capable de lister, c'est citer tous les éléments un par un, et donc pouvoir les compter, donc d'en déduire que le nombre d'éléments de l'ensemble que j'ai listé est aussi l'infini dénombrable, le même que pour 1, 2, 3, 4, etc...

    Allez, va, vous avez droit à un verre d'eau, une compresse d'eau fraîche, et trois ou quatre Aspégic 8000.




(1)je n'insisterai pas sur l'étrangeté mathématique de ce que représente ces nombres négatifs. Un pépito négatif, en effet, ça ne veut rien dire. En fait, ces nombre-là ont été inventés par les banquiers, afin de numériser les dettes et les déficits. Ça, c'est déjà malheureusement plus concret...

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commentaires

flo 25/10/2012 23:12


Ca ne me perturbe pas plus ce genre de paradoxe impossible a résoudre. La raison, contrairement à ce qu'on a longtemps pensé, n'est pas quelque chose de sacré envoyé par quelqu'un d'en haut pour
nous révéler le monde dans sa vérité...  c'est un pur produit de notre cerveau, qui est un organe comme un autre, comme le sont les yeux et le nez, produit de notre évolution et bien
pratique pour notre survie et la perpétuation de l'espèce (enfin, quand il ne nous mène pas a l'extinction de toute vie sur la planète).

Djac Baweur 19/02/2008 16:47

>klari : ça s'appelle la classe, tout simplement.
Comme de monter en troisième position direct, hop, sans réfléchir, juste, paf. Voire même en quatrième.

Un jour, tu comprendras.

(qui a dit que j'étais futé ?)
:o)

klari 19/02/2008 13:14

On peut, à l'extrême rigueur, me reprocher une justesse quelque peu approximative en 3ième position... Les esprits futés ne s'y risquent pas.C'est vrai çà, comment tu fais pur avoir 38 commentaires sur un billet à base de bijections, enfin?

Djac Baweur 19/02/2008 11:48

Argh... J'ai trop tendance, stupidement, à oublier que mes commentateurs sont la crème de la commenterie premier choix, faut vraiment que je me tienne à carreau...

Désolé Hugo, cette histoire d'hôtel me sort de l'esprit à chaque fois. ;o)

>Klari : en même temps, le coup des croches asynchrones, c'est parce que je serais bien en peine de trouver quoi que ce soit d'autre à te reprocher... :o)
Bon, dors un peu quand même, ça vaut pas le coup de se faire du mal comme ça, et puis les heures de sommeil sont très finies, elles, hélas.

Hugo 19/02/2008 09:51

Axi : dans mes bras ! 

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